pho@自習室

2009-07-04

数学:物理を学び楽しむために 第1章 はじめに

| 00:12

高校まではまあまあ数学ができる気でいたけど、大学に入ってからさっぱりわからなくなり、物理をやる上でもよくわからなくて、すっきりしないまま卒業してしまった。いまいち理解してなくても問題さえ解ければそれなりに単位が取れてしまったが、理解していないのはなんかくやしいので、ちょっとやり直そうかと思う。

数学:物理を学び楽しむために

http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/mathbook/

なんか気合いの入ったコンテンツを作ってくれている人がいたので、これを読むことにする。

では第1章

「物理をやりたくて大学に入ったのに、どうしてこんなに数学をやるんだ」という声を、毎年のように大学一年生から聞く。われわれの答は、決まっている。「必要だから。」

最初の頃はわからなかったけど、今ならその必要性がわかる。

  • 問 1.2.a

数学が物理に役に立つということについて、たとえば、次のような反論をする人がいたとしよう。

現代の物理学というのは、数学好きの人たちが集まって、自分たちの好きな数学を使ってでっちあげた理論に過ぎない。だから、数学が物理に役に立つのはそもそも当たり前の話なのだ。それは、単に物理学者という人たちの特性を表しているだけのことで、自然についての何らかの真理を表すものではない。「数学を使ってつくった物理の理論は実験に合う」という主張もお笑いぐさだ。彼らのいう「実験」は、もともと理論と合わせることが目的のものだ。だから、測定装置にしろ、そこから読み取る数値にしても、みな、はじめから理論と合うように作られているのだ。

こういう意見に対して、みなさんなりに、真面目な反論をすることを考えてみよう。

仮説はでっちあげにすぎない可能性があるが、それが現実に適合するかどうか検証して理論となるので、物理学の理論はでっちあげではない。また、「実験」は、現実の事象を数値に投影させたものであり、理論と合うように作られているわけではなく、誤差も生じる。現実の事象を投影させたものが、一定の誤差の範囲内に収まって理論に適合されて始めて、理論が実証されたことになるので、上記の批判は見当違いも甚だしい。

数学が物理の役に立つのはなぜか。一般に、数学は抽象的なものを扱い、物理は、具体的な現実のものを扱う。具体的なもの現実のものは、質量を持ち、数が増えてくると操作するのが困難である。例えば2個の林檎と3個の林檎を合わせたら何個になるか考えたとき、実際に並べてみて合わせて数えるという操作をするのは容易であるが、数が大量になったときや操作が複雑になったとき、いちいちものを並べるのは不便極まりない。そこで、ものを数値に抽象化して操作を行い、その後具体化すると操作が非常に容易になる。これが物理において、数学の役立つときなのだろうと思われる。抽象的な概念であれば複雑な操作も容易にできるので、物理学の問題を、抽象化して数学的な操作を施して解くのは、非常に効果的である。これより、数学が物理に役立つと言える。

よくわかんないけど、まあこんな感じじゃないのかな。

それから数学用語。

  • 定義 (definition)
    • 何らかの概念を新たに導入するための(数学的な)宣言をいう。
  • 定理 (theorem)
    • 公理や定義から厳密に証明できる命題をまとめて表現したものである。また、単に証明できるという以上に、とくに重要なものを、定理と呼ぶ習慣になっている。
  • 補題 (lemma)
    • 公理や定義から厳密に証明できる命題。ただし、どちらかというと目標とする定理を示すために補助的に示されたような命題の場合、ちょっと控えめに、補題と呼ぶことが多い。
  • 系 (corollary)
    • ある定理から「非常に簡単に」証明することができる命題をいう。
  • 証明 (proof )
    • 定義や公理と論証の基本的なルールだけを用いて、定理や補題を示す論証のプロセスのことをいう。

あんまりよくわかってなかった。

問 1.3.2.a 上にでてきた「εが 1 に比べてずっと小さいとき、sinε≒ε が成り立つ」という主張が正しいかどうか(正しいとして、どういう意味で正しいか)、関数電卓を使って自分で確かめよ。ε を 0.1 とか 0.01 とかに選びながら、様子をみてみよう。

手元に関数電卓がないのでwolfram alphaを使うことにする。

http://www.wolframalpha.com/

sin0.1-0.1=-0.000166583...=-1.665...*10^-4

sin0.01-0.01=-1.66666...*10^-7

sin0.001-0.001=-1.666...*10^-10

εが小さくなるにつれて、sinεーεの値もゼロに近づく。

誤植:ウォーミグアップ→ウォーミングアップ(p.6)

クロネッカーのデルタ

i=jならば1,それ以外は0

問 1.3.3.a 二重和の定義 (1.3.9) にもとづいて、(1.3.15) の関係を示せ。

\sum_{i,j=k}^la_{i,j}:=\sum_{i=k}^l(\sum_{j=k}^la_{i,j})(1.3.9)

に基づいて

\sum^M_{i,j=1}\delta_{i,j}a_{i,j}=\sum^M_{i=1}a_{i,i}(1.3.15)

の関係を示す。

\sum^M_{i,j=1}\delta_{i,j}a_{i,j}=\sum_{i=1}^M(\sum_{j=1}^M\delta_{i,j}a_{i,j})=\sum_{i=1}^M(a_{i,i})=\sum_{i=1}^Ma_{i,i}

以上より示された(かな)。

  • 積の記号

\prod^l_{i=k}a_i:=a_ka_{k+1}\cdots a_{l-1}a_l

積は、使い慣れていないけど、和と似たようなもんだな。