pho@自習室

2008-03-31

続けるってのは大変だ

| 00:02

円柱の側面は、アニュラスと位相が全く同じ。

伸縮自在なゴムの膜と考えて、ひっぱればわかる。

孔が2つの円板は、K=v-e+f=-1

孔あき円板なら、その一次元ベッチ数は孔の数と同じ

円板状の一点に収束できない孔を囲むマルの群をホモロジー群という

ホモトピー形:一次元ベッチ数を問題にする限り問題にならないように、

物体を細くしていって、どんどん削っていった後の形も同じホモトピー形。

ベッチ数とは、注目する空間の性質を表したもの。

  • 位相が同じ
    • 1対1の対応をする
    • 空間の連続性

トポロジーとは、同相写像をしても変化しない性質を研究する学問

位相が同じでも、微分可能かどうかという問題を調べなければならない

「位」「相」を分離して考えなければならない場合もある

幾何学を扱うとき、現在は何次元空間を考えているのかということを、

いつもはっきりさせておかなければならない

トポロジーの指向というものは一種の抽象化、「遊び」ということになろう

幾何学を勉強する上で常識的な感覚は大いに有用だが、感覚を超越した問題になると

感覚が何の助けにもならない、どころかときには有害にさえなりかねない。

「面」といったら、一枚の紙を想像するのはいいが、

その厚みとか裏側などというものは考えてはいけない。

厳密にいえば、線とか面とかいう幾何学用語は、すべて「抽象的概念」だといえる。

2008-03-30

一日あいてしまった

| 23:29

まあまた再開すれば良いか。

穴あき円板で、穴が一つのものをアニュラスという。

アニュラスのオイラー標数は、K=v-e+f=0

真ん中の穴のふちは線分として数の中に入れる。


やっぱり今日は疲れたのでここまで。

ゲイナーのキットのハンダ付けして、動作テストやった。

2008-03-27

トポロジー入門 3:都市計画のはなし

| 23:02

「完全n点グラフ」

n個の点があり、すべての点が相互に辺で結ばれている

「クラトウスキーの定理」

グラフが平面である必要十分条件は、それが完全5点グラフまたは完全3−3点グラフを部分として含まないことである。

一つの多面体の頂点の数がv,稜の数がe,面の数がfであるとき

  • v-e+f=2

の関係がある。すべての面がn辺形である多面体を考えると

  • e=nf/2つまりf=2e/n

代入すると、

  • v-e+2e/n=2
  • n(v-2)+2e=ne
  • e=n(v-2)/(n-2)

である。

すべての多面体は1つだけの面を取り除くことにより、頂点と稜との数を変えることなく平面グラフに書き直される。

これより、オイラーの多面体定理が言える。

4:トポロジーとは何か

円板といったとき、

周囲の円周を含む:閉領域

周囲の円周を含まない:開領域

v-e+fをKと書いて、オイラー標数とおく

円板と位相が同じ物では、オイラー標数は1である。

面の上に描いた円周Sが1点に縮小できるとき、Sは0にホモローグであるといい

S〜0というような書き方をする。

球面上に描かれた円周も0にホモローグである。

2008-03-26

トポロジー入門 2やわたのやぶしらず

| 22:31

この本自体はだいたい読んだけど、理解が浅いところも多いので

ここに軽くまとめつつ復習していく。

  • 全頂点の次数の和は偶数である。
    • 次数が奇数の点:奇頂点
    • 次数が偶数の点:偶頂点
  • グラフにある奇頂点の数は必ず偶数個である。

すべての頂点の次数がsであるもの

→次数sの正則グラフ

ケーニヒスベルグの橋

  • 橋を辺に、島や岸を頂点にしても、問題の「ねらい」は少しも変わらない

図形の中の各頂点のすべてを一回だけ通る方法

3 都市計画の話

頂点と辺からできているグラフで、その辺のすべてに矢印をつけて方向性を持たせたとき、これを「有向グラフ」とよぶ。

全所要時間を求めることは、有向グラフの中での最長経路(臨界路)を求める問題に置き換えられる。

このへんは、トポロジーではなくグラフ理論

一方通行の向きを勝手に決めてしまったら、行けない場所ができてしまう。

ある頂点に集まる道路がすべて入ってくる辺だったら、付近の住人は頂点まで来て動きがとれなくなる。

すべてが出て行く辺だったら、付近の住人は頂点へ行くことができない。

  • 完全m-n点グラフ
    • m個の白丸とn個の黒丸があり、白と黒との間を必ず結ぶようなグラフ

2008-03-19

トポロジー入門:2やわたのやぶしらず

| 21:54

  • 「マ」「キ」連結している
  • 「ロ」「タ」回路を持つ

回路のないグラフについて、図形が何個に分かれているかで(その個数を連結成分の数とよぶ)一般図形を分類する。

問題としているグラフの連結成分の数のことを零次元ベッチ数とよび、記号でp_0と書く。

  • (全頂点の数)ー(全部の辺の数)=(成分の数)
  • v-e=K

これをオイラー標数とよぶ

円も楕円も多辺形も、あるいは曲線で囲まれた図形も「単一閉曲線」という概念で同位相。「円周と同相」

ジョルダンの定理:円周と同相な曲線は、平面を2つの領域に分ける

  • 円周と同相な曲線をジョルダンの閉曲線という
  • 「一」と同相な曲線をジョルダンの曲線と呼ぶ

ジョルダン曲線は平面を分けない

トポロジーには「長さ」とか「平行」とかいう概念の入る余地は存在しない。

外部の点と外部の点、内部の点と内部の点とを結ぶ線は、ジョルダンの閉曲線と偶数回クロスする